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Unterabschnitte

Rotationsmatrix

Eigenschaften der Rotationsmatrix

Eine Rotation kann mit einer $3\times 3$-Matrix dargestellt werden. Diese Matrix muss aus der Gruppe $SO(3)$ kommen. Sie erfüllt folgende Eigenschaften:

  • Determinante der Matrix ist $1$.
  • Die Spalten bilden Einheitsvektoren einer Othonormalbasis. Die Matrix ist also aus $O(3)$.
  • Alle Spalten(Zeilen)-vektoren der Matrix stehen orthogonal zueinander. (logisch, da Orthonormalbasis)
  • Da die Spaltenvektoren orthogonal zueinander stehen folgt, dass die transponierte Matrix das Inverse ist.
Hinweis: Es gibt auch Matrizen aus $O(3)$, die keine Rotationsmatrizen sind. Diese Matritzen sind die Spiegelungen und werden mit $O(3)\backslash SO(3)$ bezeichnet. Spiegelungen verletzen die erste Eigenschaft: $\det=-1$

Aufbau der Rotationsmatrix

Der Aufbau der Rotationsmatrix ist wie folgt. Die folgende Matrix rotiert um die $z$-Achse:

\begin{displaymath}\left( \begin {array}{ccc} \cos{\alpha}&-\sin{\alpha}&0\\ \sin{\alpha}&\cos{\alpha}&0\\ 0&0&1\\ \end {array} \right)\end{displaymath}

Folgende zwei Matrizen rotieren links um die $x$-Achse, rechts um die $y$-Achse:

\begin{displaymath}\begin {array}{cp{1cm}c} \left( \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ ... ...alpha}&0&\cos{\alpha}\\ \end {array} \right) \\ \end {array} \end{displaymath}

Drehungen um beliebige Achsen mit Hilfe der Rotationsmatrix

Drehungen um beliebige Achsen kann man durchführen, indem man das unbekannte Problem auf das bekannte zurückführt. Wir transformieren das Korordinatensystem, so dass wir um eine Achse drehen, drehen dann um die Achse und machen die Transformation wieder rückgängig. Für einen normierten Vektor $r=(x,y,z)^{t}$ gilt für die Rotation $R_{r}$:

\begin{displaymath}R_{r}=R^{-1}\cdot R_{\alpha}(x)\cdot R\end{displaymath}

Vorgehen:
  1. Bestimmung der Orthonormalbasis. Der erste Basisvektor ist $r$, der zweite Basisvektor $s$ errechnet sich durch

    \begin{displaymath}s=\frac{r\times e_{x}}{\vert\vert r\times e_{x}\vert\vert}.\end{displaymath}

    Oder falls $r$ parallel zu $e_{x}$ durch

    \begin{displaymath}s=\frac{r\times e_{y}}{\vert\vert r\times e_{y}\vert\vert}.\end{displaymath}

    Der dritte Basisvektor ist

    \begin{displaymath}t=r\times s\end{displaymath}

    Aufstellen der Transformationsmatrix durch schreiben von $r,s,t$ jeweils Zeilenweise in die Matrix $R$. (Spaltenweise ergibt $R^{-1}$, da Orthonormalbasis)
  2. Drehung durchführen. $R_{\alpha}(x)$ ist eine Drehung um die $x$-Achse.
  3. Mit $R^{-1}$ wieder zurückrechnen.
Die Matrix $R_{x,y,z}=R_{r}$ kann man allgemein aufstellen

\begin{displaymath}R_{x,y,z}= \left( \begin {array}{ccc} tx^{2}+c&txy-sz&txz+sy\... ...{2}+c&tyz-sx\\ txz-sy&txy+sx&tz^{2}+c\\ \end {array} \right) \end{displaymath}

mit $s=\sin{\alpha}$, $c=\cos{\alpha}$ und $t=1-\cos{\alpha}$.
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