Quaternionen

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Unterabschnitte

Quaternionen

Darstellung von Rotation mit Angular Displacement

Wir können eine Drehung mit Hilfe einer

Drehachse und
einem Drehwinkel $\Theta$

Wir können den zu rotierenden Ortsvektor

in eine parallele und in eine senkrechte Komponente zu

zerlegen:

Parallele Komponente: $r_{p}= <n,r>n$
Senkrechte Komponente: $r_{s}= r - r_{p}= r-<n,r>n$

$r_{s}$ rotiert den Ortsvektor auf Position $Rr_{s}$ .
Wir konstruieren einen Vektor , der senkrecht zu $r_{s}$ steht und senkrecht zu steht, also in der Ebene liegt⁶:

$\begin{displaymath}V=n\times r_{s}= n\times r\end{displaymath}$
Berechne $Rr_{s}$ gemäß

$\begin{displaymath}Rr_{s}=\cos{(\Theta)}r_{s}+\sin{(\Theta)}V\end{displaymath}$
Also

$\begin{displaymath}\begin{array}{l} Rr=Rr_{p}+Rr_{s}\\ =Rr_{p}+\cos{(\Theta)}r_... ...-\cos{(\Theta)})n<n,r>+\sin{(\Theta)}n\times r\\ \end {array} \end{displaymath}$

Quaternionen als Verallgemeinerung der komplexen Zahlen

Quaternionen sind 4-Tupel reeller Zahlen, auf denen eine Multiplikation definiert ist. Sie besitzen dementsprechend

imaginäre Einheiten für die gilt:

$\begin{displaymath}i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1\,\,\,\,\,ij=-ji=k\,\,\,\,\,jk=-kj=i\,\,\,\,\,ki=-ik=j\end{displaymath}$

Auf Quaternionen kann eine Norm definiert werden

$\begin{displaymath}\vert a+bi+cj+dk\vert^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\end{displaymath}$

Einheitsquaternionen haben als Norm

.
Das konjugierte Quaternion ist von der Form

$\begin{displaymath}\overline{a+bi+cj+dk}=a-bi-cj-dk\end{displaymath}$

Für ein Einheitsquaternion gilt, dass das Inverse das konjugierte Quaternion ist

$\begin{displaymath}q^{-1}=\overline{q}\end{displaymath}$

Rotation mit Quaternionen

Zwei Quaternionen lassen sich wie folgt multiplizieren

$\begin{displaymath}q_{1}\cdot q_{2}=(s_{1},v_{1})\cdot(s_{2},v_{2})=(s_{1}+x_{1}i+y_{1}j+z_{1}k)\cdot(s_{2}+x_{2}i+y_{2}j+z_{2}k)\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}= (s_{1}s_{2}-v_{1}v_{2},s_{2}v_{1}+s_{1}v_{2}+v_{1}\times v_{2})\end{displaymath}$

Mit Hilfe dieser Multiplikation können wir nun die Rotation eines Punktes

um eine Achse

erzeugen. Wir setzen

$\begin{displaymath}R_{q}(p)=qpq^{-1}\end{displaymath}$

Dabei ist das rein imaginäre Quaternion, welches den zu rotierenden Punkt darstellt. Die Koordindaten des Punktes werden in den Imaginärteil des Quaternions abgebildet $(x,y,z)\mapsto (0,x,y,z)$ .
Bilde $(\Theta,n)$ auf das Einheitsquaternion $q=(\cos{(\frac{\Theta}{2})},\sin{(\frac{\Theta}{2})}n)$ , wobei normiert sein muss⁷.
Die Operation $R_{q}(p)=qpq^{-1}$ ergibt wieder ein rein imaginäres Quaternion, welches rotiert ist.

Eine Verkettung der Rotationen durch Quaternionenmultiplikation ist durchführbar $R_{q_{2}}=R_{q_{0}}R_{q_{1}}$ mit $q_{2}=q_{0}q_{1}$ .

Sphärische lineare Interpolation

Leider interpoliert die normale Quaternionenrotation nicht linear. Man kann sich jedoch mit der sphärischen linearen Interpolation implementiert in SLERP Abhilfe verschaffen. Es ist eine Laufvariable $u\in [0,1]$ anzugeben, über die linear interpoliert wird mit der Formel:

$\begin{displaymath}\mbox{slerp}\left( A,B,u\right) =A\frac{\sin (\left( 1-u\righ... ...Omega) }{\sin (\Omega) }+B\frac{\sin (\Omega u)}{\sin \Omega }.\end{displaymath}$

und

sind Einheitsquaternionen.

Fußnoten

... liegt ⁶: Das Kreuzprodukt erzeugt einen Vektor, der zu der Ebene, die durch beide Vektoren aufgespannt wird, senkrecht steht.
... muss ⁷: Man kann sehr einfach beweisen, dass wenn normiert vorliegt, dieses Quaternion ein Einheitsquaternion ist.

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