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Unterabschnitte

Diskrete Signale

Sampling

Ein zeitdiskretes Signal kann aus einem kontinuierlichen Signal durch Abtastung (Sampling) entstehen. Dabei ist $\Delta$ das Zeitintervall, in welchem die kontinuierliche Funktion abgetastet wird. Die Abtastrate (Samplingrate) ist das Reziproke von $\Delta$:

\begin{displaymath}\frac{1}{\Delta}.\end{displaymath}

Der Wunsch ist es, aus den diskreten Abtastpunkten wieder die kontinuierliche Funktion zu erstellen. Um dies zu gewährleisten und nicht in das Aliasingproblem zu geraten, müssen wir die Ursprungsfunktion bandbreitenbegrenzen.

Mit Hilfe der Fouriertransformierten läßt sich eine Bandbreitenbegrenzung erzeugen:

Die Funktion $f$ ist bandbreitenbegrenzt durch $u_{G}$ genau dann, wenn $\widehat{f}(u)=0$ für alle $u$ mit $\vert u\vert>u_{G}$, d.h. höhere Frequenzen kommen nicht vor.

Es werden $2$ Abtastpunkte pro Periode mindestens gebraucht. Die Abtastfrequenz muss also das doppelte von $u_{G}$ betragen.

Deltafunktion

Die Deltafunktion ($\delta$-Funktion) hat folgende Eigenschaften:

\begin{displaymath}\delta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0&\mbox{für }x\neq 0\\ \infty&\mbox{für } x=0\\ \end {array}\right. \end{displaymath}

Die Fläche unter der $\delta$-Funktion ist $1$:

\begin{displaymath}\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)dx=1\end{displaymath}

Eine konstante Funktion aus dem Ortsraum gibt die $\delta$-Funktion im Frequenzraum. Ebenso umgekehrt. Eine Kammfunktion wird zu einer anderen Kammfunktion.

Abtasttheorem

Das Abtasttheorem sagt aus, dass für die Nyquist-Frequenz (auch Grenzfrequenz genannt) gilt:

\begin{displaymath}u_{G}< \frac{1} {2\Delta x}\end{displaymath}

Tiefpassfilter

Wie kann man erreichen, das $u_{G}< 1/ (2\Delta x)$ ?
  • Höhere Abtastfrequenz.
  • Tiefpassfilter.

Diskrete Fouriertransformation

Abbildungsvorschrift für diskrete Fouriertransformation ist gegeben durch

\begin{displaymath}H(n)=\sum^{N-1}_{k=0}h_{k}e^{2\pi ikn/N}\end{displaymath}

diese Formel kann durch Matrix-Vektormultiplikation implementiert werden.

inverse diskrete Fouriertransformation

\begin{displaymath}h(k)=\frac{1}{N}\sum^{N-1}_{n=0}H_{n}e^{-2\pi ikn/N}\end{displaymath}

Transformation kann in $O(n^{2})$ berechnet werden. Mit Schneller Fouriertransformation in $O(n\log (n))$.

Tiefpassfilter in Frequenzraumdarstellung

  • Führe insgesamt beim Abtastsignal Fouriertransformation durch.
  • Multipliziere mit der Rechteckfunktion $R$.
  • Führe inverse Fouriertransformation durch.

Tiefpassfilter in Ortsraumdarstellung

Der FIR-Filter arbeitet nur im Ortsraum. Durchgeführt wird eine diskrete Konvolution zwischen Signal und einem ,,Filter-Kernel''. Ein idealer Tiefpassfilter hat den Kernel

\begin{displaymath}sinc(x)=\left\{ \begin {array}{ll}1&\mbox{für }x=0\\ \frac{\sin{(x)}}{x}&\mbox{sonst}\\ \end {array}\right.\end{displaymath}

Dieser Kernel ist in Frequenzraumdarstellung die Rechteckfunktion.

Leider ist dieser Filter inpraktialbel, so dass wir auf einen nicht idealen Tiefpassfilter ausweichen müssen. Inpraktikabel ist er deshalb, weil die $sinc$-Funktion im Unendlichen immer weiter abflacht und nicht $0$ ist.

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