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Unterabschnitte

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Satz von Bayes

Der Satz von Bayes ermöglich es sozusagen, Ursache und Wirkung zu vertauschen. Wir können feststellen, wenn ein Bestimmtes Ereignis eingetreten ist, wie groß dann die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein spezifische Ursache der Grund dafür war.

Vorraussetzung für den Satz von Bayes sind,
  • Wahrscheinlichkeit für jedes Ereignis $A_{i}$>0
  • Wahrscheinlichkeiten $A_{i}$ sind alle paarweise unvereinbar, d.h. ein Elementarereignis kann nicht gleichzeitig in zwei Ereignissen sein:
    $A_{i}\cup A_{j}=\emptyset $ für $i\not= j$.
  • alle Wahrscheinlichkeiten $A_{i}$ zusammen ergeben $1$:

    \begin{displaymath}\bigcup_{i\in N}A_{i}=1\end{displaymath}

Wenn das oben genannte gilt, gilt der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit:

\begin{displaymath}P(B)=\sum_{i=1}^{N} P(B\vert A_{i})P(A_{i})\end{displaymath}

Zwei Ereignisse:

\begin{displaymath}P(A\vert B)=\frac{P(B\vert A)\cdot P(A)}{P(B)}\end{displaymath}

Mehr Ereignisse:

\begin{displaymath}P(A_i \vert B) = \frac{P(B \vert A_i) \cdot P(A_i)}{P(B)} \un... ...A_i) \cdot P(A_i)}{\sum_{k=1} ^{N} P(B \vert A_k) \cdot P(A_k)}\end{displaymath}

$\ast$ folgt mit Hilfe des Satzes der totalen W'keit.

Kovarianz


\begin{displaymath}s_{X,Y}=\frac{1}{N-1}\sum^{N}_{i=1}(X_{i}-\underbrace{M(X)}_{\mbox{Mittelwert}})\cdot(Y_{i}-M(Y))\end{displaymath}

  • Wenn Kovarianz $>0$ $\rightarrow$ beide Zufallsvariablen wachsen gemeinsam.
  • Wenn Kovarianz $<0$ $\rightarrow$ beide Zufallsvariablen fallen gemeinsam.
  • Wenn $0$ kann man eigentlich nichts sagen. Hier aber nicht weiter diskutiert.

Kovarianzmatrix

Alle Kovarianzen der einzelnen Zufallsvariablen zueinander werden in einer Matrix eingetragen. Die Matrix ist quadratisch sowie symmetrisch.

Hauptkomponentenanalyse

Englisch: Principal componant analysis. Eine Anzahl von korrelierten Variablen wird in eine kleinere Anzahl von unkorrelierten Variablen heruntergerechnet.
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