Lineare Algebra - Aufbau eines Linearen Gleichungssystems

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Aufbau eines Linearen Gleichungssystems

Eine lineares Gleichungssystem besteht aus einer Anzahl von linearen Gleichungen. Diese Gleichungen beinhalten Unbekannte, auch Variablen genannt. Die Unbekannten werden mit Koeffizienten multipliziert. Ist der Koeffizient für eine Unbekannte

- gilt also $0\cdot x_{k}$ ( $x_{k}$ ist hierbei die Unbekannte) - so kann die jeweilige Unbekannte in der Gleichung auch weggelassen werden. Ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem ist das folgende:

$\begin{displaymath}\begin {array}{llllllllll} &&x_{2}&+&2x_{3}&+&3x_{4}&=&0\\ x... ...4}&=&5\\ 3x_{1}&+&4x_{2}&+&5x_{3}&+&6x_{4}&=&0\\ \end {array}\end{displaymath}$

und das ganze allgemeiner - $a_{ij}$ sind die Koeffizienten, $x_{j}$ die Variablen:

$\begin{displaymath}\begin {array}{lllcllllll} a_{11}\cdot x_{1}&+&\ldots&+&\ldot... ...}&+&\ldots&+&\ldots&+&a_{mn}\cdot x_{n}&=&b_{m}\\ \end {array}\end{displaymath}$

Der Vektor $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ - welcher meistens senkrecht geschrieben wird - wird Lösungsvektor genannt. Die Menge der möglichen Lösungen eines Gleichungssystems wird Lösungsmenge genannt:

$\begin{displaymath}\mbox{L\uml {o}s}(A,b):=\{x\in \mathbb{K}^{n}\vert Ax=b\}\end{displaymath}$

Wenn die Lösungsmenge leer ist, dann ist das Gleichungssystem nicht lösbar.