Lineare Algebra - Matrizen

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Matrizen

Lineare Gleichungssysteme kann man mit Hilfe einer Matrix platzsparend notieren. Doch bevor wir dies tun können, müssen Matrizen zunächst eingeführt werden.

Eine Matrix ist eine rechteckige Tabelle mit Zeilen und Spalten der Form

$\begin{displaymath}A:=\left(\begin {array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_... ...dots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\ldots&a_{mn}\\ \end {array}\right)\end{displaymath}$

Man schreibt auch $m\times n-$ Matrix.

Man kann einzelne Zeilen der Matrix herausschreiben. Diese Vektoren nennt man dann Zeilenvektoren. Genauso erhält man die Spaltenvektoren, wenn man einzelne Spalten herausschreibt.

Man kann Matrizen addieren

$\begin{displaymath}\begin {array}{lll}A+B&:=&\left(\begin {array}{cccc}a_{11}&a_... ..._{m2}&\ldots&a_{mn}+b_{mn}\\ \end {array}\right)\\ \end {array}\end{displaymath}$

und multiplizieren^1.1

$\begin{displaymath}\begin {array}{lll}A\cdot B&:=&\left(\begin {array}{cccc}a_{1... ...dots +a_{mn}\cdot b_{nm}\\ \end {array}\right)\\ \end {array}.\end{displaymath}$

Die Matrixaddition kann man leicht verstehen. Man addiert einfach die Komponenten der beiden Matrizen miteinander und erhält das Ergebnis. Die Matrixmultiplikation ist schwieriger. Bei der Matrixmultiplikation werden Zeilen der ersten Matrix mit Spalten der zweiten Matrix multipliziert und addiert. Um den Eintrag $c_{ij}$ - also

te Zeile,

te Spalte - der Lösungsmatrix zu bekommen, multipliziert man die Elemente der

ten Zeile der ersten Matrix mit den Elementen der

ten Spalte der zweiten Matrix und bildet die Summe aus allen Produkten. Schreiben wir das noch einmal auf:

$\begin{displaymath}%%\begin{array}{r} \\ i-\mbox{te Zeile}\rightarrow\\ \end{arr... ...s&\cdots&\cdots&\cdots\\ \end {array} \right)\\ \end {array} \end{displaymath}$

Ich hoffe, hierdurch ist etwas Klarheit in die Sache gekommen. Man dreht sozusagen die Spalte der rechten Matrix gegen den Uhrzeigersinn um $90^{\circ}$ , so dass sie auf der Zeile der linken Matrix liegt, multipiziert dann übereinanderstehenden Elemente miteinander und bildet danach die Summe aus den Produkten.
Nun verstehen wir auch eine Einschränkung in der Multiplikation. Man kann $m\times n-$ Matrizen nur mit $n\times m-$ Matrizen multiplizieren. Das bedeutet, daß die Zeilen der linken Matrix genauso lang sein müssen wie die Spalten der rechten Matrix, ansonsten ,,paßt'' die Spalte nicht auf die Zeile.

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