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Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung

Für beliebige Vektoren $u,v\in V$ gilt

$\begin{displaymath}<u,v>^{2}\leq <u,u><v,v>\end{displaymath}$

oder äquivalent

$\begin{displaymath}\vert<u,v>\vert\leq\vert\vert u\vert\vert\cdot\vert\vert v\vert\vert\end{displaymath}$

Beweis:
Für

trivial. Sei $y\not=0$ . Wir wenden einen kleinen Trick an, indem wir $\lambda:=\displaystyle\frac{<x,y>}{\vert\vert x\vert\vert\,\vert\vert y\vert\vert}\in \mathbb{R}$ setzen. Folgendes gilt:

$\begin{displaymath}\begin {array}{lll} 0\leq<x-\lambda y,x-\lambda y>&=&<x,x>-2\... ...tyle\frac{<x,y>^{2}}{\vert\vert y\vert\vert^{2}}\\ \end{array}\end{displaymath}$

Also gilt $<x,y>^{2}=\vert\vert x\vert\vert^{2}\vert\vert y\vert\vert^{2}$ und somit $\vert<x,y>\vert\leq \vert\vert x\vert\vert\,\vert\vert y\vert\vert$

$\Box$