Lineare Algebra - Bestimmung der Dimension des Lösungsraumes

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Bestimmung der Dimension des Lösungsraumes

Zur Bestimmung der Dimension des Lösungsraumes eines homogenen Gleichungssystems können wir die Dimensionsformel zur Hand nehmen. Da jede Matrix

einen Endomorphismus $f_{A}$ auf einer bestimmten Basis darstellt gilt für den Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems

$\begin{displaymath}Lsg(A,0)=Kern (f_{A})\end{displaymath}$

und so können wir mit der Dimensionsformel

$\begin{displaymath}\dim V=\dim(Kern(f))+\dim(Bild(f))\Leftrightarrow \dim(Kern(f))=\dim V - \dim (Bild(f))\end{displaymath}$

die Dimension des Lösungsraumes bestimmen.
Die Dimension ist

entweder : Dann gibt es nur die triviale Lösung, nämlich den Nullvektor.
oder : Dann gibt es freie Variablen. Die Größe der Dimension ist die Anzahl der freien Variablen, die wir haben.

Frage: Wie bestimmen wir das Bild? Hierfür müssen wir die Einheitsvektoren über die Matrix laufen lassen. Wir müssen dann die Dimension des Bildes berechnen, indem wir wieder ein Gleichungssystem lösen. Dadurch haben wir eigentlich keine Rechenersparnis. Oder täusche ich mich da?