Lineare Algebra - Korrektheit des Gauss-Algorithmusses

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Um zu zeigen, daß das Gauss-Verfahren ein lineares Gleichungssystem $\overline{A}$ mit genau der gleichen Lösungsmenge wie das Gleichungssystem

erzeugt, müssen wir beweisen, daß folgende Umformungen keinen Einfluß auf die Lösungsmenge haben:

Vertauschen von Zeilen
Multiplizieren von Zeilen mit $\lambda$ und anschließendes addieren auf eine andere Zeile

Dies ist trivial. Das Vertauschen von Zeilen eines Gleichungssystems nimmt keinen Einfluß auf die Lösungsmenge, da die Reihenfolge egal ist.
Wir betrachten zwei Zeilen des Gleichungssystems, da Umformungen nur mit Hilfe dieser beiden Zeilen stattfinden. Die anderen Zeilen bleiben unberührt und die Lösungsmenge wird nicht verändert:

$\begin{displaymath}\begin {array}{llllllcc} (1)&a_{i1}x_{1}&+&\cdots&+&a_{in}x_{... ... (2)&a_{j1}x_{1}&+&\cdots&+&a_{jn}x_{n}&=&b_{j}\\ \end {array}\end{displaymath}$

Eine Multiplikation mit $\lambda$ der (1)-Zeile verändert an der Lösungsmenge nichts, da man $\lambda$ wieder kürzen kann:

$\begin{displaymath}\lambda\cdot a_{i1}x_{1}+\cdots+\lambda\cdot a_{in}x_{n}=\lambda\cdot b_{i}\end{displaymath}$

Addiert man nun die multiplizierte Zeile (1) zu der Zeile (2) wie folgt

$\begin{displaymath}a_{j1}x_{1}+\cdots+a_{jn}x_{n}+(\lambda\cdot a_{i1}x_{1}+\cdots+\lambda\cdot a_{in}x_{n})=b_{j}+(\lambda\cdot b_{i})\end{displaymath}$

An der Lösungsmenge ändert sich wiederum nichts, da man eine Gleichung hinzuaddiert, die auf beiden Seiten gleiche Anteile hinzugibt. Dies könnte wiederum gekürzt werden und wir hätten wieder die Ausgangsgleichung.

$\Box$

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