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Andere Lösungsverfahren

Neben dem Gaussverfahren gibt es noch andere Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems. Auf der Schule hat man das Substititionsverfahren kennengelernt. Bei diesem werden einzelne Gleichungen nach einer Variablen hin aufgelöst und in wieder andere Gleichungen des Systems eingesetzt, bis man die Lösung für eine Variable hat. Die anderen Variablen werden bestimmt, indem gefundene Variablen in Gleichungen des Systems eingesetzt werden und diese wieder aufgelöst werden. Findet man bei diesem Verfahren, nachdem man alle Variablen eingesetzt hat, $0=0$, so hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Findet man nach dem Einsetzen ,,linker Teil $\not=$ rechter Teil'', so gibt es keine Lösung. Ähnlich funktioniert auch das Gleichsetzungsverfahren, in welchem zwei Gleichungen nach einer Variable aufgelöst werden und dann gleichgesetzt werden.



Zum Schluss der linearen Gleichungssysteme wollen wir uns ansehen, wie wir Lösungen für ein lineares Gleichungssystem bekommen können, wenn ein ähnliches System schon gelöst ist:

  • Wir wollen die Lösungsmenge $I$ eines inhomogenen linearen Gleichungssystems bestimmen. Wir kennen die Lösungsmenge $H$ des dazugehörigen homogenen Gleichungssystems. Die Lösungsmenge $H$ für das homogene Gleichungssystem ist gleich dem Kern der zu dem Gleichungssystem gehörigen Abbildung. Des weiteren kennen wir eine Lösung $v_{0}$, die partikuläre Lösung, für das inhomogene System. Wir können die Lösungsmenge $I$ des inhomogenen Systems erstellen, indem wir zu allen Lösungen des homogenen Systems $v_{0}$ addieren:

    \begin{displaymath}I=v_{0}+H=\{v_{0}+h\,\, \forall\,\, h\in H\}\end{displaymath}

  • Die Lösungen des homogenen Gleichungssystems $Ax=0$ ist der Kern der linearen Abbildung, die durch die Matrix $A$ dargestellt wird. Wir können wie oben dargestellt den Kern zu einer patrikulären Lösung addieren. Dies können wir jedoch nicht nur bei inhomogenen Gleichungssystemen tun, sondern auch bei homogenen.

    \begin{displaymath}Lsg(A,0)=v_{0}+Kern(A)\end{displaymath}

    Für das homogene Gleichungssystem exisitiert zudem immer die triviale Lösung $0$. Somit gilt

    \begin{displaymath}Lsg(A,0)=0+Kern(A)=Kern(A)\end{displaymath}

  • Wir haben zwei Lösungen eines inhomogenen linearen Gleichungssystems. Aus diesen beiden Lösungen können wir eine Lösung für das homogene lineare Gleichungssystem machen, indem wir beide Lösungen voneinander abziehen:

    \begin{displaymath}\begin {array}{l\vert l} &A\cdot X_{1}=b\\ -&A\cdot X_{2}=b\\ \hline =&A\cdot (X_{1}-X_{2})=0\\ \end {array}\end{displaymath}

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