Lineare Algebra

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Beweis

Der Beweis läuft mit Hilfe des Austauschlemmas. Das Austauschlemma nimmt einen Vektor aus der Basis und fügt einen anderen ein:
Austauschlemma
Geben ist ein

Vektorraum

mit der Basis

$\begin{displaymath}B:=\{v_{1},\ldots,v_{r}\}\end{displaymath}$

und ein

mit

$\begin{displaymath}w=\lambda_{1}v_{1}+\ldots+\lambda_{k-1}v_{k-1}+\underline{\un... ..._{r}v_{r}\in V\,\,\,mit\,\,\,\lambda_{k}\not=0\,\,\,\,\,(\star)\end{displaymath}$

und

$\begin{displaymath}\lambda_{k}\not=0.\end{displaymath}$

So ist

$\begin{displaymath}B':=\{v_{1},\ldots,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots,v_{r}\}\end{displaymath}$

wieder eine Basis von

. Man kann also $v_{k}$ gegen austauschen. (Die anderen $\lambda_{1}\ldots\lambda_{r}$ ohne $\lambda_{k}$ müssen nicht unbedingt 0 sein, können es aber.)

Beweis des Austauschlemmas

Wir nehmen zur Vereinfachung der Schreibweise an, daß ist. Wir zeigen also, daß

$\begin{displaymath}B':=\{w,v_{2},\ldots,v_{r}\}\end{displaymath}$

auch eine Basis von $V_{K}$ ist.
Alle Vektoren $v\in V$ lassen sich als Linearkombination der Basis^3.2 herstellen:

$\begin{displaymath}v=\mu_{1}v_{1}+\ldots+\mu_{r}v_{r}\,\,\,\,\,(\star\star)\end{displaymath}$
Da $\lambda_{1}\not=0$ können wir wie folgt umformen

$\begin{displaymath}\begin {array}{ll}&w=\lambda_{1}v_{1}+\ldots+\lambda_{r}v_{r}... ..._{2}-\ldots-\frac{\lambda_{r}}{\lambda_{1}}v_{r}\\ \end {array}\end{displaymath}$
Nun können wir dies in $\star\star$ einsetzen

$\begin{displaymath}\begin {array}{ll} v&=\mu_{1}\left(\frac{w}{\lambda_{1}}-\fra... ...\mu_{1}\frac{\lambda_{r}}{\lambda_{1}}\right)v_{r} \end {array}\end{displaymath}$

$\Rightarrow$ Die neue Basis ist zumindest ein Erzeugendensystem
Zu zeigen ist jetzt noch die lineare Unabhängigkeit

$\begin{displaymath}\mu w+\mu_{2}v_{2}+\ldots+\mu_{r}v_{r}=0\end{displaymath}$

Einsetzen von $\star$ :

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll}&\mu(\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\ldot... ...{3})v_{3}+\ldots+(\mu\lambda_{r}+\mu_{r})v_{r}=0\\ \end {array}\end{displaymath}$

Also $\mu\lambda_{1}=\mu\lambda_{2}+\mu_{2}=\mu\lambda_{3}+\mu_{3}=\ldots=\mu\lambda_{r}+\mu_{r}=0$ , da linear unabhängig war ( $\mu_{2}=\mu_{3}=\ldots=\mu_{r}=0$ ) und $\mu=0$ , da $\lambda_{1}\not=0$ .
$\Rightarrow$ linear unabhängig

Beweis des Austauschsatzes
Nachdem wir nun bewiesen haben, dass man einen Vektor $v_{k}$ aus der Basis nehmen kann und gegen den Vektor

tauschen kann, wenn das dazugehörige $\lambda_{k}\not=0$ ist (kann man durch Umnummerieren an die richtige Stelle stellen), müssen wir beweisen, das es tatsächlich immer ein $\lambda_{k}\not=0$ für einen Vektor der alten Basis gibt, so dass wir die Vektoren nacheinander austauschen können:

Wenn wir null Vektoren austauschen, haben wir nichts zu beweisen. Wir brauchen keinen Vektor zu finden, durch den wir einen Basisvektor austauschen. Dies ist unser Induktionsanfang.
Unsere Induktionsvoraussetzung ist, dass wir schon Vektoren ausgetauscht haben und wieder eine Basis erhalten haben:

$\begin{displaymath}B'=\{w_{1},\ldots,w_{k},v_{k+1},\ldots,v_{r}\}\end{displaymath}$
Der Induktionsschluss:
Wenn wir den Vektor $w_{k+1}$ austauschen, so müssen wir ein $\lambda_{i}$ mit $k+1\leq i\leq r$ finden, für welches gilt $\lambda_{i}\not=0$ . Es gilt

$\begin{displaymath}\begin {array}{ll}w_{k+1}=\lambda_{1}w_{1}+\ldots+\lambda_{k}... ...{r}}\\ &\mbox{mindestens ein }\lambda_{i}\not=0\\ \end {array}\end{displaymath}$

Da die linear unabhängige Familie $(w_{1},\ldots,w_{k},w_{k+1},\ldots)$ linear unabhängig war, darf kein $\lambda_{1}=\ldots=\lambda_{k}\not=0$ sein, da sonst die lineare Unabhängigkeit verletzt würde. Da $w_{k+1}$ auch nicht Nullvektor, da wiederum die lineare Unabhängigkeit verletzt werden würde, gibt es ein $\lambda_{i}$ ( $k+1\leq i\leq r$ ) mit $\lambda_{i}=0$ .

$\Box$

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