Der Beweis läuft mit Hilfe des Austauschlemmas. Das Austauschlemma nimmt einen Vektor aus der Basis und fügt einen anderen ein:
Austauschlemma
Geben ist ein
Vektorraum
mit der Basis
und ein
mit
und
So ist
wieder eine Basis von
.
Man kann also gegen austauschen. (Die anderen
ohne
müssen nicht unbedingt 0 sein, können es aber.)
Beweis des Austauschlemmas
- Wir nehmen zur Vereinfachung der Schreibweise an, daß ist. Wir zeigen also, daß
auch eine Basis von ist.
- Alle Vektoren lassen sich als Linearkombination der Basis3.2 herstellen:
- Da
können wir wie folgt umformen
- Nun können wir dies in einsetzen
Die neue Basis ist zumindest ein Erzeugendensystem
- Zu zeigen ist jetzt noch die lineare Unabhängigkeit
Einsetzen von :
Also
, da linear unabhängig war (
) und , da
.
linear unabhängig
Beweis des Austauschsatzes
Nachdem wir nun bewiesen haben, dass man einen Vektor
aus der Basis nehmen kann und gegen den Vektor
tauschen kann, wenn das dazugehörige
ist (kann man durch Umnummerieren an die richtige Stelle stellen), müssen wir beweisen, das es tatsächlich immer ein
für einen Vektor der alten Basis gibt, so dass wir die Vektoren nacheinander austauschen können: