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Folgerungen aus dem Beweis

  • Hat ein $K-$Vektorraum $V$ eine endliche Basis, so ist jede Basis von $V$ endlich.
  • Je zwei Basen eines Vektorraums haben die gleiche Länge.
  • Basisergänzungssatz:
    In einem endlich erzeugten Vektorraum $V$ seien linear unabhängige Vektoren $w_{1},w_{2},\ldots,w_{n}$ gegeben. Dann kann man $w_{n+1},\ldots,w_{r}$ finden, so daß

    \begin{displaymath}B:=\{w_{1},w_{2},\ldots,w_{n},w_{n+1},\ldots,w_{r}\}\end{displaymath}

    eine Basis von $V$ ist.
  • Ist $v_{i},\ldots,v_{n}$ eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die einen Vektorraum aufspannen, so ist die Menge $v_{i},\ldots,v_{n+1}$ auf jeden Fall linear abhängig. D.h. man kann keinen weiteren Vektor finden, der zu $v_{i},\ldots,v_{n}$ linear unabhängig ist.
  • Basisaustauschsatz:
    Sind $v_{i},\ldots,v_{n}$ linear unabhängige Vektoren, die einen Vektorraum aufspannen (d.h. sie sind eine Basis), so spannen $w_{i},\ldots,w_{n}$ linear unabhängige Vektoren, die man aus Linearkombinationen der Vektoren $v_{i},\ldots,v_{n}$ bilden kann, den gleichen Vektorraum auf.