Lineare Algebra - Dimensionsformel für Untervektorräume

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Dimensionsformel für Untervektorräume

$\begin{displaymath}dim(U_{1}\cap U_{2})+dim(U_{1}+U_{2})=dim(U_{1})+dim(U_{2})\end{displaymath}$

Beweis wird geführt über Anzahl der Vektoren in den Basen der Vektorräume. Die Basis des Vektorraums $U_{1}\cap U_{2}$ läßt sich einmal zu der Basis des Vektorraums $U_{1}$ und einmal zu der des Vektorraums $U_{2}$ ergänzen. Die Basis des Vektorraums von $U_{1}+U_{2}$ ^3.3 ist die Basis des Schnitts plus der zusätzlichen Vektoren von $U_{1}$ und $U_{2}$ .

$\Box$