Lineare Algebra - Geometrische Reihe

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Geometrische Reihe

Zu zeigen: $\,\,\,\,\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}q^{k}=\frac{1-q^{n}}{1-q}$ .

Induktionsanfang:

$\begin {array}{ccl} q^{0}&=&1\\ &&=\mbox {Okay}\\ \frac{1-q^{1}}{1-q}&=&1\\ \end {array}$

Induktionsvoraussetzung: Für sei bewiesen:
$\displaystyle\sum^{n-1}_{k=0}q^{k}=\frac{1-q^{n}}{1-q}$
Induktionsschritt: $n\leadsto n+1\,\,\,\,$
Zu zeigen ist $\displaystyle\sum^{n}_{k=0}q^{k}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Wir beginnen links:

$\begin{displaymath}\displaystyle\begin {array}{lll} \displaystyle\sum^{n}_{k=0}q... ...{1-q}\\ &=&\displaystyle\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\\ \end {array} \end{displaymath}$

$\Box$