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L injektiv ⇔ linear unabhängige Vektoren werden auf linear unabhängige Vektoren abgebildet Abbildungen, insbesondere lineare Isomorphismen

Auswertungsabbildungen

Wir haben z.B. 3 Polynome $P_{1},P_{2},P_{3}$ mit

\begin{displaymath} \begin {array}{ccl} P_{1}&=&(x-1)(x-2)(x-4)\\ P_{2}&=&(x-3)(x-5)(x-1)\\ P_{3}&=&(x-4)(x-2)(x-3)\\ \end {array} \end{displaymath}

Wir können nun eine Auswertungsabbildung definieren ($a$ ist die Stelle an welcher ausgewertet wird):

\begin{displaymath}W_{a}(P):P\mapsto P(a)\end{displaymath}

Die Auswertungsabbildung ist linear da folgendes $\forall\,\,\,P,Q\in\mathbb{Q}[X]$ und $\lambda\in K$ gilt4.2:

\begin{displaymath}W_{a}(\lambda P+Q)=\lambda W_{a}(P)+W_{a}(Q)\end{displaymath}

Durch die Auswertungsabbildung werden so linear unabhängige Vektoren auf linear unabhängige Vektoren abgebildet, d.h
$P_{1},P_{2},P_{3}$ linear unabhängig, wenn $W_{a}(P_{1}),W_{a}(P_{2}),W_{a}(P_{3})$ linear unabhängig
Wir zeigen für

\begin{displaymath}\lambda_{1}W_{a}(P_{1})+\lambda_{2}W_{a}(P_{2}))+\lambda_{3}W_{a}(P_{3})=0\end{displaymath}


\begin{displaymath}\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0:\end{displaymath}

$P(1)$ bedeutet, daß P an der Stelle 1 ausgewertet wird, also der Wert des Polynoms bestimmt wird, wenn man $1$ einsetzt.:
  $P(1)$ $P(2)$ $P(3)$  
$P_{1}$ $=0$ $=0$ $\not=0$ $\Rightarrow\lambda_{3}=0$
$P_{2}$ $=0$ $\not=0$ $=0$ $\Rightarrow\lambda_{2}=0$
$P_{3}$ $\not=0$ $=0$ $=0$ $\Rightarrow\lambda_{1}=0$
Da die drei Vektoren, durch die Auswertungsabbildung erzeugt, linear unabhängig sind, sind auch die drei Vektoren $P_{1},P_{2},P_{3}$ linear unabhängig.
$\Box$

L injektiv ⇔ linear unabhängige Vektoren werden auf linear unabhängige Vektoren abgebildet Abbildungen, insbesondere lineare Isomorphismen