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Definition

Die Determinate ordnet jeder Matrix $M(n\times n,\mathbb{K})$ eine Zahl aus $\mathbb{K}$ zu:

\begin{displaymath}\det:M(n\times n,\mathbb{K})\rightarrow\mathbb{K}\end{displaymath}

Die Abbildung hat die folgenden Eigenschaften
  1. $\det$ ist linear in jeder Zeile. Das bedeutet, dass wenn man aus der Matrix $M$ eine Zeile wegläßt und durch einen Vektor $x$ ersetzt, dass sich dann die Abbildung bezüglich dieses Vektors linear verhält.
  2. Ist der Zeilenrang der Matrix kleiner als die Zeilenanzahl $n$, so ist $\det A=0$.
  3. Die Determinate der Einheitsmatrix ist $1$: $\det(E)=1$.
Es gibt genau eine Abbildung, die diese Eigenschaften erfüllt. Dies müssen wir beweisen, indem wir die Eindeutigkeit und die Exisitenz zeigen. Dies muss für alle drei Bedingungen einzelnd geschehen.