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Laplace Entwicklungssatz

Der Entwicklungssatz von Laplace hilft, wenn zu größeren als $3\times 3$ Matrizen eine Determinante bestimmt werden soll^6.1.
Man kann die Determinante entwicklen, indem man die Matrix in immer kleinere Unterdeterminanten aufteilt. Dabei bezeichnet die Untermatrix $A_{ij}$ die Matrix die durch Weglassen der

ten und

ten Zeile bzw. Spalte aus der Matrix

entsteht. Entwickeln kann man nun entweder nach Zeilen

$\begin{displaymath}det\,\,A=\sum^{n}_{j=1}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot A_{ij}\end{displaymath}$

oder nach Spalten

$\begin{displaymath}det\,\,A=\sum^{n}_{i=1}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot A_{ij}\end{displaymath}$

Durch den Faktor $(-1)^{i+j}$ entsteht für jede Matrix ein Schachbrettartiges Muster. Dadurch werden die Vorzeichen der Unterdeterminanten bestimmt:

$\begin{displaymath} \begin {array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} \hl... ...\ \hline -&+&-&+&-\\ \hline +&-&+&-&+\\ \hline \end {array} \end{displaymath}$

Beispiel:

$\begin{displaymath}\begin {array}{l} det\left(\begin {array}{cccc} a_{11}&a_{12}... ...\,\,\, ausgeblendet\\ \end {array}\\ \cdots \par\end {array} \end{displaymath}$