Ψ Die Informatikseite

Menü

Laplace Entwicklungssatz

Der Entwicklungssatz von Laplace hilft, wenn zu größeren als $3\times 3$ Matrizen eine Determinante bestimmt werden soll6.1.
Man kann die Determinante entwicklen, indem man die Matrix in immer kleinere Unterdeterminanten aufteilt. Dabei bezeichnet die Untermatrix $A_{ij}$ die Matrix die durch Weglassen der $i-$ten und $j-$ten Zeile bzw. Spalte aus der Matrix $A$ entsteht. Entwickeln kann man nun entweder nach Zeilen

\begin{displaymath}det\,\,A=\sum^{n}_{j=1}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot A_{ij}\end{displaymath}

oder nach Spalten

\begin{displaymath}det\,\,A=\sum^{n}_{i=1}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot A_{ij}\end{displaymath}

Durch den Faktor $(-1)^{i+j}$ entsteht für jede Matrix ein Schachbrettartiges Muster. Dadurch werden die Vorzeichen der Unterdeterminanten bestimmt:

\begin{displaymath}
\begin {array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert}
\hl...
...\
\hline
-&+&-&+&-\\
\hline
+&-&+&-&+\\
\hline
\end {array}
\end{displaymath}



Beispiel:

\begin{displaymath}\begin {array}{l}
det\left(\begin {array}{cccc}
a_{11}&a_{12}...
...\,\,\, ausgeblendet\\
\end {array}\\
\cdots
\par\end {array}
\end{displaymath}