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Vereinfachte Bestimmung von Determinanten

  • Ist eine Spalte oder eine Zeile linear abhängig, so gilt

    \begin{displaymath}det\,\,\,A=0\end{displaymath}

    Dies ist gleichbedeutend mit ($n$ die Zeilenanzahl bzw. Spaltenanzahl)

    \begin{displaymath}rang\,\,A<n\end{displaymath}

  • Wenn man eine Spalte mit einer anderen vertauscht oder eine Zeile mit einer anderen vertauscht, wechselt das Vorzeichen (da die Abbildung der Determinanten alternierend ist)

    \begin{displaymath}det\,\,A_{ij}=-det\,\,A_{ji}\end{displaymath}

  • Wird eine Zeile einer Matrix mit einem Skalar $\lambda$ multipliziert, so muß die Determinante legendlich auch mit demselben Skalar multipliziert werden:

    \begin{displaymath}det \left(\begin {array}{ccc}&\vdots&\\ \lambda\cdots\lambda&...
...ccc}&\vdots&\\ \cdots&a&\cdots\\ &\vdots&\\ \end{array}\right)
\end{displaymath}

    Ebenso wird eine Determinante mit $\lambda^{n}$ multipliziert, wobei $n$ die Zeilenanzahl ist, wenn eine Matrix ganz mit einem Skalar $\lambda$ multipliziert wird:

    \begin{displaymath}det (\lambda\cdot A)= \lambda^{n}\cdot det\,\, A\end{displaymath}

  • Die Determinante der Einheitsmatrix ist $1$:

    \begin{displaymath}det \left(\begin {array}{ccc}1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1\\ \end{array}\right)=1\end{displaymath}

  • Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt ihrer Diagonalen:

    \begin{displaymath}det \left(\begin {array}{ccc}\lambda_{1}&\cdots&\\ &\ddots&\v...
...nd{array}\right)=\lambda_{1}\cdot\,\,\cdots\,\,\cdot\lambda_{n}\end{displaymath}

    Wir können eine solche Dreiecksmatrix aus jeder beliebigen $n\times n$-Matrix durch elementare Zeilenoperationen mit Hilfe des Gaussverfahrens erstellen. Wir müssen bei der Bestimmung der Determinante jedoch dann darauf achten, dass wir die Zeilenvertauschungen in die Determinante mit einrechnen. Wenn $r$ also die Anzahl der Zeilenvertauschungen ist, die wir durchgeführt haben um die Dreiecksform zu erreichen, gilt:

    \begin{displaymath}\det A'=(-1)^{r}\cdot a_{11}\cdot a_{22}\cdot\,\,\ldots\,\,\cdot a_{nn}\end{displaymath}

  • Transponiert man eine Matrix (d.h. man macht die Zeilen zu Spalten und die Spalten zu Zeilen oder man spiegelt bei quadratischen Matrizen die Matrix an der Diagonalen) so ist der Wert der Determinanten der transponierten Matrix gleich dem Wert der Determinanten der nicht transponierten Matrix:

    \begin{displaymath}\det\,\,\,A=\det\,\,\,A^{T}\end{displaymath}

    Kleiner Einschub: Vorsicht bei der Multiplikation. Es gilt

    \begin{displaymath}(AB)^{t}=B^{t}A^{t}\end{displaymath}

  • Determinantenmultiplikationssatz:

    \begin{displaymath}\det (A\cdot B)= \det\,\,A\cdot\,\det\,\,B\end{displaymath}