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Unterabschnitte

Vorüberlegungen Polyeder

Ein 3D-Objekt können wir mit Hilfe eines Polyeders definieren.

Informelle Definition des Polyeders

Ein Polyeder ist ein geschlossener 3D-Körper; er besteht aus

  • Oberfläche (Ebenensegmenten, auch Facetten genannt)
  • Strecken (Kanten)
  • Endpunkte (Vertices)
Um also ein Polyeder zu definieren, müssen wir
  • Endpunkte angeben (als Punkte in $\mathbb{R}^{3}$),
  • müssen angeben, welche Endpunkte mit einer Kante verbunden sind und
  • müssen angeben, welche Facetten welche Kanten als Begrenzung haben.
Ein Würfel kann nun definiert werden, indem wir für jede der sechs Seiten vier Eckpunkte angeben. Aber: Wir verschwenden Speicherplatz, da einige Punkte mehrfach angegeben werden müssen.

Geometrischer Graph

Ein geometrischer Graph ist ein Paar $G=(P,E)$, wobei $P$ eine nichtleere Menge von $n$ Punkten ist mit $p_{0},p_{1},\ldots,p_{n-1}$ (dabei ist die Dimension der Punkte $\geq 2$) und $E$ eine Menge von Kanten $(p_{k},p_{l})$.
  • Zwei Kanten heißen benachbart, falls sie einen Punkt gemeinsam haben.
  • Kanten sind normalerweise nicht orientiert. Aber wir können sie orientieren. Sie werden dann Halbkanten genannt1.

Polygon

Ein geometrisher Graph $Q=(P,E)$ mit $P=\{p_{0},p_{1},\ldots,p_{n-1}\}$ und

\begin{displaymath}E=\left\{(p_{0},p_{1}),(p_{1},p_{2}),\ldots,(p_{n-2},p_{n-1})\right\}\end{displaymath}

heißt Polygon.

Ein Polygon heißt
  • eben, wenn alle Kanten auf einer Ebene liegen2.
  • geschlossen, falls der Endpunkt gleich dem Anfangspunkt ist. Um Speicherplatz zu sparen, kann man bei der Darstellung auch den letzten Punkt weglassen und den Anfangspunkt einsetzen, falls klar ist, dass alle Polygone geschlossen sind.

  • einfach, falls3

    • der Schnitt zweier Kanten entweder leer ist oder ein Eckpunkt aus $P$ ist und
    • jeder Eckpunkt nur zu höchstens zwei Kanten gehört.

Der Jordanscher Kurvensatz sagt aus, dass jedes geschlossene, einfache und ebene Polygon die Ebene in ein disjunktes äußeres und inneres Polygongebiet teilt.

Fußnoten

... genannt1
In der Repräsentation im Rechner ist häufig eine Richtungsangabe immer vorgegeben. Wir müssen zuerst den einen, dann den anderen Punkt abspeichern. Deshalb sind Halbkanten im Speicherplatz und in der Verarbeitung nicht aufwändiger als Kanten.
... liegen2
Der Raytracer Povray mag nur ebene Polygone. Sobald das Polygon, welches er darstellen soll, nicht mehr eben ist, gibt es keine korrekte Darstellung mehr. Polygone mit drei Eckpunkten sind immer in einer Ebene.
... falls3
Dies schließt aus, dass sich zwei Kanten einfach schneiden und schließt des weiteren auch aus, dass ein Punkt auf dem Schnittpunkt liegt und versucht wird, so den Schnitt zu legitimieren.
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