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Definition des Vektorraums

Kommen wir nun zu der Definition des Vektorraums:

Sei $\mathbb{K}$ ein Körper. Ein Tripel $(V,+,\ast)$ - wobei eine Menge von -Tupeln

$\begin{displaymath}\left(\begin {array}{c}x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end {array}\right)\end{displaymath}$

und

und $\ast$ Verknüpfungen

$\begin{displaymath}\begin {array}{lll} +&:&V\times V\rightarrow V\\ \ast&:&\mathbb{K}\ast V\rightarrow V\\ \end {array}\end{displaymath}$

- wird $\mathbb{K}$ -Vektorraum genannt, wenn folgende Axiome gelten:

ist eine kommutative Gruppe
S1: $\forall\,\,\,\lambda,\mu\in \mathbb{K}, v\in V$ gilt $\lambda\ast(\mu\ast v)=(\lambda\ast\mu)\ast v$ (Assoziativgesetz)
S2: $1\in \mathbb{K}: \forall\,\,\, v\in V:1\ast v=v$ (neutrales Element)
D1: $\forall\,\,\,\lambda,\mu\in \mathbb{K}, v\in V$ gilt $(\lambda+\mu)\ast v=\lambda\ast v+\mu\ast v$ (Distributivgesetz)
D2: $\forall\,\,\,\lambda\in \mathbb{K}, v,w\in V$ gilt $\lambda\ast(v+w)=\lambda\ast v+\mu\ast w$ (Distributivgesetz)