Lineare Algebra - Linearkombination

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Linearkombination

Seien $(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n})$ eine Familie von Vektoren in einem $\mathbb{K}-$ Vektorraum. Jeder Vektor

der Form $(\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\in\mathbb{K})$

$\begin{displaymath}v=\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\ldots+\lambda_{n}v_{n}\end{displaymath}$

heißt Linearkombination von $v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}$ .

Es folgen nun einige Beweise, zwischen den Begriffen ,,linear (un)abhängig'' und ,,Linearkombination''. Die Folgerungen dieser Beweise werden wahrscheinlich den meisten Lesern schon in Fleisch und Blut übergegangen sein. Sie wissen einfach, dass es so ist. Eigentlich müssen wir das aber erst einmal beweisen:

Satz: Wenn die Vektoren der Familie $(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n})$ linear unabhängig zueinander sind, dann kann jeder Vektor $v\in L(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n})$ durch sie nur auf eine bestimmte Weise kombiniert werden Aus

$\begin{displaymath}v=\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\ldots+\lambda_{n}v_{n}\,... ...,\,\,\,\,\,\,\, v=\mu_{1}v_{1}+\mu_{2}v_{2}+\ldots+\mu_{n}v_{n}\end{displaymath}$

folgt also

$\begin{displaymath}\lambda_{1}=\mu_{1};\,\,\,\lambda_{2}=\mu_{2};\,\,\,\lambda_{n}=\mu_{n}\end{displaymath}$

Beweis:

$\begin{displaymath}\begin {array}{ll} &v=v\\ \Leftrightarrow&\lambda_{1}v_{1}+\... ...u_{2})v_{2}+\ldots+(\lambda_{n}-\mu_{n})v_{n}=0\\ \end {array}\end{displaymath}$

Wegen der linearen Unabhängigkeit gilt nun:

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} &\lambda_{1}-\mu{1}=0;\,\,\,\lambda_{2}-\mu... ...bda_{2}=\mu_{2};\,\,\ldots\,\lambda_{n}=\mu_{n}\\ \end {array}\end{displaymath}$

Somit kann der Vektor nur auf eine Weise kombiniert werden.

$\Box$

Umgekehrt kann man beweisen:
Satz: Wenn jeder Vektor nur auf eine Weise aus der Familie $(v_{1},v_{2},\ldots v_{n})$ linear kombiniert werden kann, dann sind die Vektoren der Familie linear unabhängig zueinander.
Nur auf eine Weise kombinierbar bedeutet, dass wenn

$\begin{displaymath}\begin {array}{ll}&v=\lambda_{1}v_{1}+\ldots+\lambda_{n}v_{n}\\ \mbox{und }&v=\mu_{1}v_{1}+\ldots+\mu_{n}v_{n}\\ \end {array}\end{displaymath}$

gilt, $\lambda_{1}=\mu_{i}$ $(1\leq i \leq n)$ gilt und somit $\lambda_{i}-\mu_{i}=0$ .

$\begin{displaymath}\begin{array}{ll} &v=v\\ \Leftrightarrow&\lambda_{1}v_{1}+\l... ...u_{1})v_{1}+\ldots+(\lambda_{n}-\mu_{n})v_{n}=0\\ \end {array}\end{displaymath}$

Da $\lambda_{i}-\mu_{i}=0$ für $1\leq i\leq n$ sind die Vektoren der Familie linear unabhängig.

$\Box$

Satz: Wenn die Vektoren einer Familie $(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n})$ jedoch linear abhängig sind, dann gibt es mehr als eine Möglichkeit einen Vektor

zu kombinieren. Lineare Abhängigkeit bedeutet ja, dass für mindestens ein $v_{i}$ $(1\leq i\leq n)$ gilt:

$\begin{displaymath}v_{i}=\lambda_{1}v_{1}+\ldots+\lambda_{i-1}v_{i-1}+\lambda_{i+1}v_{i+1}+\ldots+\lambda_{n}v_{n}.\end{displaymath}$

Beweis:
Wenn wir nun den Vektor

haben, können wir ihn auf folgende Weise kombinieren:

$\begin{displaymath}v=\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\ldots+\lambda_{n}v_{n}.\end{displaymath}$

Wir erhalten hieraus $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$ . Nun können wir jedoch die oben genannte Linearkombination für $v_{i}$ einsetzen und erhalten

$\begin{displaymath}\begin {array}{llll} &v&=&\lambda_{1}v_{1}+\ldots+\\ &&&\lam... ...{1}v_{1}+\ldots+(1+\lambda_{i})\lambda_{n}v_{n}\\ \end {array}\end{displaymath}$

Also ist $(1+\lambda_{i})\lambda_{1},\ldots,(1+\lambda_{i})\lambda_{n}$ eine neue Möglichkeit

zu kombinieren und somit haben wir schon

Möglichkeiten.

$\Box$

Wir können auch die folgenden beiden Tatsachen beweisen:

Satz: Wenn sich kein Vektor $v_{i}$ der Familie $(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n})$ linear aus der Familie $(v_{1},\ldots,v_{i-1},v_{i+1},\ldots, v_{n})$ kombinieren läßt, so sind die Vektoren der Familie $(v_{1},\ldots,v_{n})$ linear unabhängig zueinander.
Beweis:
Angenommen, sei seien linear abhängig. Das bedeuet, dass für

$\begin{displaymath}\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\ldots+\lambda_{n}v_{n}=0\end{displaymath}$

für mindestens ein $\lambda_{i}$ $(1\leq i\leq n)$ gilt

$\begin{displaymath}\lambda_{i}\not=0\end{displaymath}$

Das bedeutet

$\begin{displaymath}\begin {array}{ll} &\lambda_{1}v_{1}+\ldots+\lambda_{i-1}v_{i... ...ts+\frac{\lambda_{n}}{-\lambda_{i}}v_{n}=v_{i}\\ \end {array} \end{displaymath}$

Dann läßt sich $v_{i}$ aus $(v_{1},\ldots,v_{i-1},v_{i+1},\ldots,v_{n})$ linear kombinieren. Widerspruch zur Voraussetzung. Also müssen die Vektoren linear unabhängig sein.

$\Box$

Ebenso gilt umgekehrt:
Satz: Wenn die Vektoren der Familie $(v_{1},v_{2},\ldots,v_{n})$ linear unabhängig zueinander sind, so läßt sich keiner der Vektoren aus dem anderen linear kombinieren.
Beweis: Angenommen, das geht doch; es läßt sich ein Vektor $v_{i}$ $(1\leq i\leq n)$ linear kombinieren. Dann gilt:

$\begin{displaymath}v_{i}=\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\ldots+\lambda_{i-1}v_{i-1}+\lambda_{i+1}v_{i+1}+\ldots+\lambda_{n}v_{n}\end{displaymath}$

Daraus folgt durch Subtrahieren von $v_{i}$ :

$\begin{displaymath}0=\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}+\ldots+\lambda_{i-1}v_{i-1}+(-1)v_{i}+\lambda_{i+1}v_{i+1}+\ldots+\lambda_{n}v_{n}\end{displaymath}$

Wir sehen, dass $\lambda_{i}\not=0$ ist, da $\lambda_{i}=-1$ . Also wären die Vektoren der Familie linear abhängig. Widerspruch. Es ist also nicht möglich, dass einer der Vektoren Linearkombination der anderen ist, weil sonst die lineare Unabhängigkeit verletzt ist.

$\Box$

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