Lineare Algebra - L injektiv linear unabhängige Vektoren werden auf linear unabhängige Vektoren abgebildet

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L injektiv $\Leftrightarrow$ linear unabhängige Vektoren werden auf linear unabhängige Vektoren abgebildet

$\begin{displaymath}L\,\,\,injektiv\Longleftrightarrow\,\,\, linear\,\,\,unabh\um... ...\!\!\!\!\!\!\!\!\!L}\,\,\,\,\,\, linear\,\,\,unabh\uml {a}ngig \end{displaymath}$

$\Leftarrow:$
Zu zeigen: $L(v)=L(w)\Rightarrow\ldots\Rightarrow v=w$
Sei $V=\{v_{1},v_{2},\ldots,v_{n}\}$ Basis, $v,w\in V$ und Basis und $L(v_{1}),\ldots,L(v_{i}),\ldots,L(v_{n})$ linear unabhängig.

$\begin{displaymath}\begin {array}{rl} &L(v)=L(w)\\ \Leftrightarrow&L(\sum\lambd... ...(\lambda_{i}-\mu_{i})v_{i}=0\\ \Rightarrow&v=w\\ \end {array}\end{displaymath}$

Injektivität gezeigt $\Box$
$\Rightarrow:$
Zu zeigen: $L(\sum\lambda_{i}v_{i})=0$

$\begin{displaymath}\begin {array}{rl} &\sum\lambda_{i}v_{i}=\sum\mu_{i}v_{i}\\ ... ...i})=0\\ \Rightarrow&L(\sum\lambda_{i}v_{i})=0\\ \end {array} \end{displaymath}$

$\Box$