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Unterabschnitte

Homogene Koordinaten

Translation in homogenen Koordinaten

Rotationen lassen sich mit $3\times 3$-Matrizen beschreiben. Translationen jedoch nicht. Wir können jedoch auf einfachste Weise unsere Matrix auf eine $4\times 4$-Matrix erweitern, sowie auch $4D$-Korridinaten verwenden und können in einem solchen System auch eine Translation darstellen. Die Verschiebung um den Vektor $(x_{0},y_{0},z_{0})^{T}$ kann wie folgt dargestellt werden:

\begin{displaymath}\left( \begin {array}{c} x'\\ y'\\ z'\\ 1\\ \end {array}\... ...}{c} x+x_{0}\\ y+y_{0}\\ z+z_{0}\\ 1\\ \end {array}\right) \end{displaymath}

Dies ist auch schon die Schreibweise in homogenen Koordinaten.

Aufbau der homogenen Koordinaten

Ein Vektor in homogenen Koordinaten hat immer eine $1$ als viertes Element:

\begin{displaymath} \left( \begin {array}{c} x\\ y\\ z\\ \end {array}\right) ... ...eft( \begin {array}{c} x\\ y\\ z\\ 1\\ \end {array}\right) \end{displaymath}

Die Überführung einer Rotationsmatrix und eines Translationsvektors in eine Matrix in homogenen Koordinaten geschieht wie folgt:

\begin{displaymath} \left( \begin {array}{ccc} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\\ \end {... ... d&e&f&y_{0}\\ g&h&i&z_{0}\\ 0&0&0&1\\ \end {array}\right) \end{displaymath}

Auch eine Skalierung um einen Faktor $f$ läßt sich darstellen

\begin{displaymath} \left( \begin {array}{ccc} f&0&0\\ 0&f&0\\ 0&0&f\\ \end {... ...y}{ccc} f\cdot x\\ f\cdot y\\ f\cdot z\\ \end {array}\right)\end{displaymath}

Es lassen sich auch Perspektivische Projektionen darstellen. Hier die Projektion auf die $x,y$-Ebene.

\begin{displaymath} \underbrace{\left( \begin {array}{cccc} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\... ...\\ \end {array}\right)}_{\mbox{Perspektische Transformation}} \end{displaymath}

Weiterhin ist eine Textur - Interpolation möglich sowie die Linearkombination von Transformationen.

Nachteile von homogenen Koordinaten und Rotationsmatrizen

  • $4\times 4$-Matritzen müssen berechnet werden.
  • Beschränkt man sich auf eine normale $3\times 3$-Matrix gibt es immer noch $9$ Kooridinaten für $3$ Freiheitsgerade
    • Speicherplatzverschwendung
    • Numerischer Drift
    • Wenig inituitiv, auch Matritzen möglich, die gar keine Rotationsmatritzen sind, sondern etwas ganz anderes als erwünscht tun. (Wir erlauben ja alle lineare Abbildungen.)
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