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Unterabschnitte

Eulerwinkel

Idee der Eulerwinkel

Um das Problem der übermäßig vielen Parameter und der Unanschaulichkeit zu beheben, kann man Eulerrotationen benutzen. Eulerrotationen werden in drei Winkeln dargestellt, nämlich dem Winkel der Rotation um die $x$-Achse, dem Winkel um die $y$-Achse und dem Winkel um die $z$-Achse.

Eulerwinkel lassen sich einfach in Rotationsmatrizen umrechnen. Dazu benutze man die oben genannten Rotationsmatrizen um die jeweiligen Achsen. Die Rotationsmatritzen lassen sich konkatenieren, um eine komplexe Rotation zu erstellen. Hierbei ist jedoch zu beachten, dass die Reihenfolge der Konkatenation wichtig ist, da die Matrixmulitiplikation im allgemeinen nicht kommutativ ist.

Probleme mit Eulerwinkeln

Gimbals-Lock: Rotationen um $90^{\circ}$ rotieren unweigerlich auf eine der anderen Koordinatenachsen. Aus dieser Koordinatenachse kann dann nicht mehr wegrotiert werden und zwei ehemals unterschiedliche Rotationen sind identisch. Beispiel:
  • Rotation der $y$-Achse um $90^{\circ}$.
  • Die $z$-Achse fällt nun mit der $x$-Achse zusammen.
  • Rotationen mit der $z$-Achse ergeben nun das gleiche Ergebnis, wie Rotationen um die $x$-Achse.
Mehrdeutigkeit der Rotation: Um an eine Endposition zu gelangen, kann man mehrere Rotationen anwenden. Die Eulerrotationen sind mehrdeutig. Zum Beispiel rotieren folgende beiden Rotationen ein R in $(0,1,0)$ auf $(0,-1,0)$ mit beidesmal derselben Orientierung:
  • Rotation um die $x$-Achse um $180^{\circ}$.
  • Rotation um die $y$-Achse um $180^{\circ}$. Danach Rotation um die $z$-Achse um $180^{\circ}$.

Umgehung des Gimbal-Locks

Der Gimbal-Lock ist nicht vermeidbar, allerdings verschiebbar auf $360^{\circ}$ durch ,,Exponential Maps''. Folgendes Theorem besagt, dass es immer einen Gimbal-Lock bei drei Parametern geben muss:

Theorem: Es gibt keinen Homeomorphismus5 von $(\mathbb{R},\vert\vert.\vert\vert)$ nach $(SO(3),\vert\vert.\vert\vert)$. Dies ist eine Variante des ,,Map makers dilemma''.

Fußnoten

... Homeomorphismus5
Also bijektive, stetige Abbildung
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